\documentstyle[11pt,hugepag,epsfig,strl]{article}
%\input psfig
\topmargin=-2cm
\textheight=24cm
\parindent=0.0in
\pagestyle{empty}
\begin{document}
%
%\title{ }      %
%\author{ }     % Dit stukje zorgt ervoor dat de koptekst goed komt te
%\date{ }       % staan. Het levert een lege pagina op.
%\maketitle     %
%
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\large Faculteit Informatietechnologie en Systemen}\\
\vspace{2cm}
% Het volgende stuk moet worden ingevuld en aangepast
%
\begin{center}
        {\large\bf Practicum Opgave 1.2.1} \\
        {\large\bf Numerieke Analyse CII (wi4014)} \\
        {\large\bf Numerieke Methoden PDV (wi3001)} 
\end{center}
De verspreiding van verontreinigde stof door een stromend medium kan
beschreven worden door de convectie-diffusie vergelijking:
\begin{equation}
\frac{\partial c}{\partial t} - div (\kappa \nabla c) + \bm{u} \cdot \nabla
c = f
\label{een}
\end{equation}
Hierin is $c(\bm{x}, t)$ de concentratie verontreinigde stof, $\kappa$ de
diffusiecoefficient, $\bm{u}(\bm{x}, t) = \left( \begin{array}{c} 
u_{x}\\u_{y} \end{array}\right)$ de stroomsnelheid en $f(\bm{x}, t)$ de
representatie van eventuele inwendige verontreinigingsbronnen. In deze
opgave beschouwen we de evenwichtstoestand met $f \equiv 0$ en dus:
\begin{equation}
- div (\kappa \nabla c) + \bm{u} \cdot \nabla c = 0
\label{twee}
\end{equation}
\begin{minipage}[t]{7cm}
%\begin{figure}[htb]
%\vspace{5cm}
%\hspace*{-25cm}
\centerline{\psfig{figure=bocht.eps}}
%\end{figure}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{8cm}
\vspace*{-5cm}
We bekijken nu de stroming in een cirkelvormige kanaalbocht aangegeven in
de figuur. \\
De binnenstraal heeft lengte $R$ de breedte van kanaal is $b$.\\[2ex]
Het snelheidsveld wordt gegeven door de volgende formules:
\begin{equation}
u_{r} = 0\; \; \; r u_{\phi} = \frac{1}{4} (r - (R + b))(r - R)
\label{drie}
\end{equation}
\begin{equation}
u_{x} = -r \sin \phi \; u_{\phi} \; \; \; u_{y} = r \cos \phi \;
u_{\phi}
\label{vier}
\end{equation}
\end{minipage}
\\[2ex]
We nemen aan dat de wand zwak doorlatend is m.b.t. concentratie $c$. Aan de
instroming brengen we een ''blokje'' vervuiling aan ter lengte van $\frac{1}{2}b$
welke in het midden van het kanaal is gecentreerd.\\[2ex]
De randvoorwaarden voor de concentratie worden daarmee:\\[2ex]
\begin{minipage}[t]{3,5cm}
instroming:\\[8ex]
wanden van kanaal:\\[3ex]
uitstroming:
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{12cm}
\vspace*{-1cm}
\begin{eqnarray}
c = 1&&R + \frac{1}{4} b \leq r \leq R + \frac{3}{4} b\nonumber\\
c = 0&&R \leq r \leq R + \frac{1}{4} b \; \; \mbox{\rm \ en}\; \; R +
\frac{3}{4} b \leq r \leq R + b\label{vijf}\\
&&\kappa \frac{\partial c}{\partial n} + \sigma c = 0\label{zes}\\
&&\frac{\partial c}{\partial n} = 0\label{zeven}
\end{eqnarray}
\end{minipage}
\\[2ex]
%\begin{center}
\hspace*{\fill}z.o.z.
%\end{center}
\newpage
\noindent
Opgave:
\begin{itemize}
\item[a.]Bestaat er voor vergelijking (\ref{twee}) met randvoorwaarden
(\ref{vijf}), (\ref{zes}) en (\ref{zeven}) een equivalent
minimaliseringsprobleem? Beredeneer uw antwoord.
\item[b.]Leid de zwakke formulering voor (\ref{twee}) onder de
randvoorwaarden (\ref{vijf}), (\ref{zes}), (\ref{zeven}) af.
\item[c.]Voor het benaderen van de oplossing van dit probleem wordt de
eindige elementen methode gebruikt. \\
Leid de elementmatrices en vectoren af voor de interne elementen indien
de elementen driehoekig zijn en een lineaire benadering wordt gekozen.\\
Doe hetzelfde voor de randelementen.
\item[d.]Los het probleem op m.b.v. het SEPRAN pakket.\\
Gebruik $R = 2$ en $b = 1$\\
Kies $\kappa = 0.01, \; \sigma = 0.01$ en los het probleem op met 2 verschillende
gridverfijningen.\\
Maak een print van de concentratie, alsmede een contourplot.\\
Maak op een kleuren display een gekleurde contourplot.
\item[e.]Verklaar het concentratiebeeld van de contourplot.
\item[f.]Voer dezelfde berekening uit voor $\kappa = 0.0001, \; 
\sigma = 0.0001$.\\
Verklaar de resultaten.
\end{itemize}
\end{document}

