Delft, 29 sep 98
Beste Medeauteurs,

Terwijl ik bezig was aan het maken van mijn A4-en voor de hoofdstukken 4 en 5 kreeg ik steeds meer pijn in mijn buik.

De oorspronkelijk gegeven opzet gaat van abstract naar concreet. Eerst komen evenredigheid, differentievgl, van discreet naar continu, differentiaalvergelijking, zonder dat wij nog maar verteld hebben wat een dynamisch systeem nu eigenlijk is. Dat komt pas helemaal in hoofdstuk 5 kern 2, waar andermaal weer gepraat wordt over exponenti"ele groei, een onderwerp, dat al ad nauseam aan de orde is geweest.

Ook is er geen plaats ingeruimd voor het afleiden van differentiaalvergelijkingen, toch een onderdeel, dat in het de profi-uitwerking met name wordt genoemd als zijnde zeer belangrijk, zó belangrijk zelfs, dat zij daarvoor een heel stuk (tweede orde DV) hebben laten vallen.

Ik zou het heel anders willen aanpakken: van concreet naar abstract, met nadruk op het afleiden.

Voorstel:

• Hoofdstuk 4 Modellen

  Kern 1

  Dynamische modellen.

  1.

  Van gewone taal naar formule taal. Dit is de eerste aanzet tot het formuleren van modellen uit eerste beginselen. We bekijken hoe zinnen als `Hoe langer, hoe smaller' en dergelijke vertaald kunnen worden in formules.

  2.

  Een andere kijk op groei. Hierin staat hoe je exponenti"ele groei kunt beschrijven zoals altijd gedaan is, maar ook door uit te gaan van eerste principes: de groei is evenredig met de aanwezige populatie of anders gezegd: "`hoe groter de populatie, hoe groter de groei"'. Het beschrijven van een verschijnsel dmv de veranderingen ervan is wat het model dynamisch maakt.

  Kern 2

  Dynamische modellen van exponenti"ele groei

  1.

  Oplossing van exponentieel groeimodel. Verificatie door substitutie, oplossingsfamilies. Dit komt natuurlijk gedeeltelijk in de sommen terecht.

  2.

  Geremde groei: y'=c(k-y)

  Kern 3

  Dynamisch model van logistische groei.

  1.

  Afleiding van het model uit een `talige' context. Dus andermaal van gewone taal naar formule taal

  2.

  Oplossing.

  Het controleren van de (een) oplossing door substitutie.

  Kern 4

  Wat beschrijft een dynamisch model?

  1.

  Eerste Principes. Parameters.

  2.

  Differentiaal vergelijkingen. Oplossingen. Differentiaalvergelijkingen met x. (Tot nog toe waren onze dynamische modellen differentiaalvergelijkingen met t en er is best een verhaal te houden, dat differentiaalvergelijkingen met x helemaal geen dynamische modellen zijn. Maar ik dwaal af.)

• Hoofdstuk 5 Differentiaalvergelijkingen

  Kern 1

  Richtingsveld.

  1.

  Het tekenen van het richtingsveld. (met richtingen 0, en zovoorts) Dat moet natuurlijk voor een niet autonome DV om een beetje aan te slaan.

  2.

  Het schetsen van een oplossing in een richtingsveld. (Dat doe ik erbij omdat dat in de eindtermen apart genoemd wordt maar het is volkomen onzinnig. Immers, in de volgende kern doen we dat pas echt goed...)

  Kern 2

  De methode van Euler

  1.

  De beginwaarde. Pas hier kunnen we het idee kwijt, dat één oplossings kromme hoort bij één begin waarde.

  2.

  Van continu naar discreet.

  Het onderscheid, dat gemaakt wordt tussen continue en discrete dynamische modellen is volgens mij een hobby van een van de opstellers van het programma. En de nadruk die gelegd wordt op het feit, dat de Euler tabel geen (echte) oplossing is is heel gekunsteld. We hebben in de onderbouw geleerd, dat je een functie kunt geven met een formule, een grafiek of een tabel. Mag een tabel nou ineens niet meer?

  Kern 3

  Van discreet naar continu.

  Het verplaatsen van dit onderdeel helemaal naar het eind van dit hoofdstuk is de belangrijkste verandering, maar volgens mij heel wezenlijk. Het hele idee van continue rentebijschrijving is gekunsteld en draagt helemaal niks bij tot een beter begrip. (Het is nl een halsbrekende toer om de evenredigheidsfactor te vinden van een continu proces als je alleen maar het rente percentage weet.) Dus ik knoop dit vast aan de methode van Euler.

  1.

  Nauwkeurigheid van de methode van Euler. Dat wordt in de eindtermen niet genoemd, maar Bert had dat er (terecht) wel bijstaan. Er wordt alleen iets gemompeld over invloed van de stapgrootte, maar dat kan je volledig kwantificeren.

  2.

  Een andere kijk op e^x.

  Iets ouds, maar toch ook iets nieuws, om te laten zien, dat het resultaat in de vorige deelkern niet helemaal toevallig is.

  Kern 4

  Toepassingen uit Natuur en Techniek

  Hierin zouden wat minder triviale voorbeelden kunnen, die alleen numeriek kunnen worden opgelost. Bijvoorbeeld:

  1.

  Groei bij tijdsafhankelijke hulpbronnen. (Bijvoorbeeld afhankelijkheid van het jaargetijde)

  2.

  De aerostatische drukverdeling. (De DV is hier gemakkelijk, maar de afleiding is interessant)

  Iets anders kan natuurlijk ook. De baan van het bootje aan het touwtje, de vorm van het silhouet van een omvallende rij dominostenen, de parachutespringer, de waterafvoer, U roept maar. We moeten in ieder geval ervoor zorgen, dat we in deze twee hoofdstukken, die in mijn ogen tot de interessantste van het pakket mogen worden gerekend ook echt interessante stof voorschotelen.

Vergeleken met het vorige plan is de kern `differentievergelijking' vervallen. Om vanuit een differentie vergelijking naar een differentiaalvergelijking te komen vind ik gekunsteld. Bovendien leidt deze weg tot grote en mijns inziens volsterkt nodeloze begripsmatige problemen. We formuleren de modellen direct in termen van groei en populatie, en stellen vast, dat `discrete' groei (zoals bijvoorbeeld rente bijschrijving) juist de uitzondering is. Om dat nou te gaan hanteren als kapstok om de rest aan op te hangen vind ik principieel onjuist.

De dynamische modellen van groei komen eerst aan bod, alvorens we het over differentiaalvergelijkingen in het algemeen gaan hebben. (Dus van concreet naar abstract). Dat geeft ook meer houvast in de leervlakken (je kunt dan beter teruggrijpen op al behandelde voorbeelden.) De kern Oplossingen (Hf 4, K4) is in die vorm vervallen. In mijn ogen, moet er in de sommen aandacht worden besteed aan interpretaties van de oplossings formule in termen van het gegeven dynamisch model. Het in het trajecten boek genoemde voorbeeld (horizontale asymptoot) vind ik veel te mager om daar een complete kern aan te spenderen.

Daar is voor in de plaats gekomen Hoofdtuk 5, kern 4, toepassingen uit Natuur en Techniek, omdat je mijns inziens niet vaak genoeg kan zien hoe een DV wordt afgeleid. (Dat is honderd keer zo belangrijk als de oplossing). Aan Hoofdstuk 5, kern 3 tweede deelkern hecht ik niet zo erg. Het wordt in het profi materiaal genoemd en is wel aardig, maar zou ook wel door iets anders kunnen worden vervangen. Misschien moet je wel een complete deelkern wijden aan parameters. (In mijn ogen veel belangrijker dan het schetsen van oplossingen in voorgegeven velden, want daar heb je WinPlot (gratis, uitstekend), of als het werkelijk moet VU-Grafiek (duur, zeer matig) voor).

Nou dat was het voorlopig. Ik meen met het totaal op zijn kop zetten van de oorspronkelijke opzet in de beste Boniaanse traditie te hebben gehandeld.

Groeten, Jos.