Modelleren en toegepaste wiskunde
Arie Langeveld
ITW Nieuws, 9, mei 1999
De wiskunde is een prachtig groot gebouw, opgezet vanuit een aantal
aannamen (o.a. axioma's) en de logische consequenties daaruit. Daarmee is men
in staat de eigenschappen van wiskundige structuren te bestuderen en
hele theorieen op te zetten. Wiskundigen hebben inzicht hoe dat
wiskundige gebouw in elkaar zit, zeg maar: welke kamers er zijn, wat men
in die kamers kan doen en wat niet. Wiskundige onderzoekers zijn in staat
dat gebouw uit te breiden door allerlei consequenties te bewijzen
(al dan niet onder nieuwe aannamen): zij bouwen een nieuwe erker of
een nieuwe serre aan het gebouw. Daarnaast zijn er wiskundige toepassers.
Zij kijken naar niet-wiskundige praktijkproblemen en proberen bij te
dragen in hun oplossing, daarbij gebruik makend van wiskundige modellen.
In het boek INLEIDING TOT HET MODELBEGRIP (Amsterdam, 1974) schrijven
K. Bertels en D. Nauta: "Een model is een poging tot vergelijking:
kunnen we met behulp van het meer bekende het minder bekende te weten komen?
We gebruiken modellen -- dingen die we al kennen,structuren die we zelf
construeren, eenvoudige systemen die we beheersen -- om de onuitputtelijke,
steeds weer informatieve werkelijkheid coherent (i.e. samenhangend) te
beschrijven." Deze beschrijving van een model is heel algemeen. Voor een
praktisch probleem, waarin stromingen een belangrijke rol speelt, zal
een experimenteel fysicus wellicht een schaalmodel gebruiken voor experimenten;
een mathematisch fysicus zou een wiskundig model bestaande uit
een stel differentaalvergelijkingen kunnen opschrijven en die analytisch
aanpakken; een numericus zou hetzelfde wiskundig model kunnen behandelen;
en een computerspecialist zou een computer model kunnen maken, gebaseerd
op roostergassen (Daarin worden de bewegingen van miljoenen deeltjes, lopend
over een fijnmazig rooster, gesimuleerd;hiervan kan worden aan getoond, dat
onder bepaalde aannamen het macroscopisch gedrag de Navier Stokes
vergelijkingen volgt) en daarmee een computer simulatie kunnen doen. Bij
praktische toepassing van de wiskunde gaat het er dus om bij een
praktijkprobleem een goed gelijkend wiskundig probleem te vinden, het wiskundig probleem
op te lossen, en aan de hand van die oplossing uitspraken te doen over het
oorspronkelijke praktische probleem om zo aan de oplossing daarvan bij te
dragen. Modelleren is daarin de kunst om een goed vergelijkend, hanteerbaar
wiskundig probleem te vinden bij een gegeven praktijkprobleem. Het begrip
`goed gelijkend' houdt in, dat de essenties van het originele probleem ook
in het model aanwezig zijn; `hanteerbaar' houdt in, dat men verwacht het
wiskundig probleem te kunnen oplossen, al dan niet na enig onderzoek.
Volgens sommige onderzoekers zijn de Navier-Stokes
vergelijkingen een fysisch model voor stroming, terwijl volgens bovenstaande
we zouden moeten spreken van een wiskundig model. Toch zou ik voor de
bovengegeven omschrijving kiezen, omdat die uitgaat van een vrij duidelijke,
goed gefundeerde beschrijving van een model, waaronder ook schaalmodellen
en computermodellen.
Bij het begrip `toegepaste wiskunde' liggen de zaken complexer. Letterlijk
genomen is `toegepaste' wiskunde' in eerste instantie `wiskunde' en niet
`toepassing'; dan zou je `toegepaste wiskunde' kunnen zien als wiskunde die
bij een praktijkprobleem wordt gebruikt. Vaak hoor je die uitdrukking
gebruiken voor die deelgebieden van de wiskunde waar de door toepassingen
gedreven ontwikkelingen domineren over de door wiskunde-gedreven
ontwikkelingen, zoals bij statistiek, besliskunde, numerieke wiskunde. Dus: toegepaste
wiskunde als tegenhanger van zuivere wiskunde. Sommige mensen spreken liever
van `toepasbare wiskunde', om daarmee aan te geven, dat die weliswaar
`zuiver' van aard kan zijn geweest, maar dat gebruik in toepassingen op
termijn te verwachten is. Echter je kunt
altijd wel beargumenteren, dat de methoden waaraan werkt eens toepasbaar
zullen blijken te zijn. Dus erg vruchtbaar is het woordgebruik `toepasbaar'
ook niet. Misschien dat woorden als `fundamenteel' voor wat vaak zuiver
wordt genoemd, en `toepassingsgedreven' (APPLICATION MOTIVATED) voor op
toepassingen gerichte ontwikkelingen het onderscheid beter weergeven. Ik zou
ervoor willen waken om woorden te gebruiken, die een waardeoordeel in
zich kunnen houden. Zo is het woord `zuiver' in deze context eigenlijk al
besmet met connotaties als `ivoren toren', onpraktisch, esoterisch, en krijgt
`toegepast' dan de smaak mee van onzuiver, eigenlijk geen wiskunde. Een
van de mooie aspecten van de wiskunde is voor mij, dat die zowel schoonheid
in zichzelf heeft, als ook grote praktische waarde in heel veel verschillende
toepassingsgebieden!
Contact informatie:
Kees
Vuik
Terug naar de wi1149
pagina of de
home page
van Kees Vuik
Laatst aangepast op 29-03-2001 door Kees Vuik
Deze pagina is getyped door Jacolien Vuik